Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$10 - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.9

Associez $3$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 4.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$10 - 15 x^{2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 15 x^{2} + 10 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$