Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} e^{2 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x^{5} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{5} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$x^{5} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (5 x^{4})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$ .

$2 x^{5} e^{2 x} + 5 x^{4} e^{2 x}$