Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 7}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 7$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Étape 2.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 (x - 7) x$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x - 7) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 (x - 7))$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2 (x - 7)}{x^{3}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot - 7}{x^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 7$ .

$\frac{x - 2 x + 14}{x^{3}}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 14}{x^{3}}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 14}{x^{3}}$

Étape 4.4

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{x^{3}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x - 14)}{x^{3}}$

Étape 4.6

Réécrivez $- (x - 14)$ comme $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{- 1 (x - 14)}{x^{3}}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 14}{x^{3}}$