Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x^{4}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $a$ .

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x^{3}$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $b$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c x^{2}$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $c$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [d x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $d x$ par rapport à $x$ est $d \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.5.3

Multipliez $d$ par $1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

Étape 1.6

Comme $e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Additionnez $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ et $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

Étape 1.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.1.2

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $d$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} a$ par rapport à $x$ est $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} b$ par rapport à $x$ est $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2 c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 c x$ par rapport à $x$ est $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $0$ et $12 a x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ .

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $x^{4}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a x^{4}$ par rapport à $a$ est $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ .

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $b x^{3}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b x^{3}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.3.2

Comme $c x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $c x^{2}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.3.3

Comme $d x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $d x$ par rapport à $a$ est $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

Étape 4.1.3.4

Comme $e$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $e$ par rapport à $a$ est $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 4.1.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.1

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f' (a) = x^{4}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{4}$ .

$x^{4}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{4} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 5.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

Étape 9.1.3

Multipliez $0$ par $a$ .

$2 c + 0 + 6 b (0)$

Étape 9.1.4

Multipliez $6 b (0)$ .

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Étape 9.1.4.1

Multipliez $0$ par $6$ .

$2 c + 0 + 0 b$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $0$ par $b$ .

$2 c + 0 + 0$

Étape 9.2

Associez les termes opposés dans $2 c + 0 + 0$ .

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Étape 9.2.1

Additionnez $2 c$ et $0$ .

$2 c + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $2 c$ et $0$ .

$2 c$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11