Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{3 x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

Étape 2.3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 4.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 4.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 4.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 4.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 4.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 e^{3 x} - e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Étape 5.2

Déplacez $- e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

Étape 5.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 5.4

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\ln (3 e^{3 x})$ comme $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 5.4.2

Développez $\ln (e^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Étape 5.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Étape 5.4.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

Étape 5.5

Développez le côté droit.

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Étape 5.5.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

Étape 5.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

Étape 5.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x$

Étape 5.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.6.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

Étape 5.6.2

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$\ln (3) + 4 x = 0$

Étape 5.7

Soustrayez $\ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - \ln (3)$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $4 x = - \ln (3)$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - \ln (3)$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Étape 5.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{\ln (3)}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.3

Multipliez $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.3.2

Simplifiez $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.4

Simplifiez $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.6

Multipliez les exposants dans ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 9.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.7

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

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Étape 9.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.7.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 3$ .

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.9

Associez $9$ et $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Étape 9.10

Réécrivez $\frac{\ln (3)}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

Étape 9.11

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Étape 9.12

Multipliez $- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ .

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Étape 9.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Étape 9.12.2

Multipliez $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ par $1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Étape 9.13

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Étape 10

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ .

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Étape 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

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Étape 11.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (3)}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

Étape 11.1.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2

Remplacez la variable $x$ par $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ dans l’expression.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Multipliez $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

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Étape 11.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.1.2

Simplifiez $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.2

Simplifiez $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.5

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

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Étape 11.3.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.5.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Étape 11.3.1.7

Multipliez $- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

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Étape 11.3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Étape 11.3.1.7.2

Multipliez $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ par $1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Étape 11.3.1.8

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Étape 11.3.2

La réponse finale est $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ est un minimum local

Étape 13