Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{3} x$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} - 2 \cos (x)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sqrt{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 \sin (x)$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

Étape 4

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 9

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{2})$

Étape 12.2.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 13

$x = \frac{π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{6}$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{π}{6}) - 2 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{1}{2})$

Étape 14.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{1}{2})$

Étape 14.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Étape 14.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $\frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{11 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2})$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 16.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 16.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1$

Étape 17

$x = \frac{11 π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{11 π}{6}$ est un maximum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{11 π}{6}) - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3} (11 π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 18.2.1.2

Déplacez $11$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \cdot (\sqrt{3} π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 18.2.1.3

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 18.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \frac{1}{2})$

Étape 18.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 18.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2})$

Étape 18.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 18.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 1 \cdot - 1$

Étape 18.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

Étape 18.2.2

La réponse finale est $\frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$ .

$y = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1)$ est un minimum local

$(\frac{11 π}{6}, \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1)$ est un maximum local

Étape 20