Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{25 + x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 25 + x^{2}$ .

$\frac{(25 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [25 + x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(25 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [25 + x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $25 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [25 + x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{25 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{25 + x^{2} - x (2 x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{25 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{25 - x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} + 25)}^{2}$ comme $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3

Développez $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2

Déplacez $25$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $25$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.2

Additionnez $25 x^{2}$ et $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.6.1

Multipliez $50$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 2$ par $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.5.3.1.10.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11

Développez $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.4

Multipliez $4$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.5

Multipliez $25$ par $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.2

Soustrayez $100 x^{3}$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.3

Additionnez $4 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $- 2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $2500 x$ de $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

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Étape 2.5.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez $u^{2} - 50 u - 1875$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 1875$ et dont la somme est $- 50$ .

$- 75, 25$

Étape 2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 25$ et ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{(25 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (25 + x^{2})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (25 + x^{2})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $25 + x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} (25 + x^{2})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x (2 x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{25 - x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- x^{2} + 25 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 25$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 25$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 25$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 25$ par $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Étape 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 5, - 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $50$ à la puissance $3$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{125000}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{10 (25 - 75)}{125000}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $75$ de $25$ .

$\frac{10 \cdot - 50}{125000}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Multipliez $10$ par $- 50$ .

$\frac{- 500}{125000}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $- 500$ et $125000$ .

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $500$ à partir de $- 500$ .

$\frac{500 (- 1)}{125000}$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $500$ à partir de $125000$ .

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{250}$

Étape 9.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{250}$

Étape 10

$x = 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{5}{25 + {(5)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = \frac{5}{25 + 25}$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$f (5) = \frac{5}{50}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun à $5$ et $50$ .

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (5) = \frac{5 (1)}{50}$

Étape 11.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Étape 11.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Étape 11.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5) = \frac{1}{10}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{10}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $50$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 10 (25 - 75)}{125000}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $75$ de $25$ .

$\frac{- 10 \cdot - 50}{125000}$

Étape 13.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.4.1

Multipliez $- 10$ par $- 50$ .

$\frac{500}{125000}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $500$ et $125000$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $500$ à partir de $500$ .

$\frac{500 (1)}{125000}$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $500$ à partir de $125000$ .

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{250}$

Étape 14

$x = - 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + {(- 5)}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 25}$

Étape 15.2.1.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{50}$

Étape 15.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $50$ .

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Étape 15.2.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{50}$

Étape 15.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Étape 15.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Étape 15.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5) = \frac{- 1}{10}$

Étape 15.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - \frac{1}{10}$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{10}$ .

$y = - \frac{1}{10}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x}{25 + x^{2}}$ .

$(5, \frac{1}{10})$ est un maximum local

$(- 5, - \frac{1}{10})$ est un minimum local

Étape 17