Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 2.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Étape 2.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 5.3.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 9

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\sin (\frac{π}{3})$

Étape 12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13

$x = \frac{π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{3}$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ .

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Étape 14.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

Étape 14.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Étape 14.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 17

$x = \frac{5 π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{3}$ est un maximum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ .

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Étape 18.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 18.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 18.2.1.2

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Étape 18.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 18.2.1.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 18.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 18.2.2

La réponse finale est $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ est un minimum local

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ est un maximum local

Étape 20