Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{3} - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 0$

Étape 2.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} - 1$ .

$x^{3} - 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} - 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 1$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 5.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.3

Simplifiez

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 5.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 5.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.7

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 5.7.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3

Simplifiez

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Étape 5.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.7.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.7.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.7.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.7.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$3 {(1)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1$

Étape 9.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} - (1)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 - (1)$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - (1)$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 11.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (1) = \frac{1 - 4}{4}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 3}{4}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{3}{4}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$ .

$(1, - \frac{3}{4})$ est un minimum local

Étape 13