Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- \frac{81}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{81}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.4

Associez $- 2$ et $\frac{81}{2}$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.5

Multipliez $- 2$ par $81$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.6

Associez $\frac{- 162}{2}$ et $x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.7

Annulez le facteur commun à $- 162$ et $2$ .

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Étape 1.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 162 x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.4.7.2.4

Divisez $- 81 x$ par $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $729$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $729 x$ par rapport à $x$ est $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $729$ par $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [729]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 81 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81 x$ par rapport à $x$ est $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 81$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + \frac{d}{d x} (729)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $729$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $729$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 18 x - 81$ et $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- \frac{81}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{81}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) \cdot x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.4

Associez $- 2$ et $\frac{81}{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.5

Multipliez $- 2$ par $81$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.6

Associez $\frac{- 162}{2}$ et $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.7

Annulez le facteur commun à $- 162$ et $2$ .

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Étape 4.1.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 162 x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.4.7.2.4

Divisez $- 81 x$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $729$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $729 x$ par rapport à $x$ est $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $729$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} - 9 x^{2}) - 81 x + 729 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 9) - 81 (x - 9) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 9$ .

$(x - 9) (x^{2} - 81) = 0$

Étape 5.2.3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$(x - 9) (x^{2} - 9^{2}) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez.

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Étape 5.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$(x - 9) ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 5.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 9) (x + 9) (x - 9) = 0$

Étape 5.2.5

Associez les exposants.

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Étape 5.2.5.1

Élevez $x - 9$ à la puissance $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Étape 5.2.5.2

Élevez $x - 9$ à la puissance $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Étape 5.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 9)}^{1 + 1} (x + 9) = 0$

Étape 5.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 5.4

Définissez ${(x - 9)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez ${(x - 9)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez ${(x - 9)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Définissez le $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 5.4.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 5.5

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$ vraie.

$x = 9, - 9$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 9, - 9$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 9$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$3 {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 81$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 81 - 18 \cdot 9 - 81$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $81$ .

$243 - 18 \cdot 9 - 81$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 18$ par $9$ .

$243 - 162 - 81$

Étape 9.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Soustrayez $162$ de $243$ .

$81 - 81$

Étape 9.2.2

Soustrayez $81$ de $81$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 12$ , de l’intervalle $(- \infty, - 9)$ dans la dérivée première $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12$ dans l’expression.

$f' (- 12) = {(- 12)}^{3} - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $3$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Étape 10.2.2.1.2

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot - 12 + 729$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $144$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 - 81 \cdot - 12 + 729$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $- 81$ par $- 12$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 + 972 + 729$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.2.2.1

Soustrayez $1296$ de $- 1728$ .

$f' (- 12) = - 3024 + 972 + 729$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $- 3024$ et $972$ .

$f' (- 12) = - 2052 + 729$

Étape 10.2.2.2.3

Additionnez $- 2052$ et $729$ .

$f' (- 12) = - 1323$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 1323$ .

$- 1323$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 9, 9)$ dans la dérivée première $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Étape 10.3.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 \cdot 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Étape 10.3.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 81$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 729$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 729$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 729$

Étape 10.3.2.2.3

Additionnez $0$ et $729$ .

$f' (0) = 729$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $729$ .

$729$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $12$ , de l’intervalle $(9, \infty)$ dans la dérivée première $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f' (12) = {(12)}^{3} - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $3$ .

$f' (12) = 1728 - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Étape 10.4.2.1.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f' (12) = 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot 12 + 729$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $144$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 81 \cdot 12 + 729$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 81$ par $12$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 972 + 729$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Soustrayez $1296$ de $1728$ .

$f' (12) = 432 - 972 + 729$

Étape 10.4.2.2.2

Soustrayez $972$ de $432$ .

$f' (12) = - 540 + 729$

Étape 10.4.2.2.3

Additionnez $- 540$ et $729$ .

$f' (12) = 189$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $189$ .

$189$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 9$ , $x = - 9$ est un minimum local.

$x = - 9$ est un minimum local

Étape 10.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 9$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ .

$x = - 9$ est un minimum local

Étape 11