Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{10}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{10 x^{3}}{3}$ par $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.3

Multipliez $51$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun à $510$ et $6$ .

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Étape 1.2.5.1

Factorisez $6$ à partir de $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $85 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.6

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.7

Comme $85$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $85 x^{5}$ par rapport à $x$ est $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.9

Multipliez $5$ par $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $425 x^{4} + 5$ et $0$ .

$425 x^{4} + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $425 x^{4} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $425$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $425 x^{4}$ par rapport à $x$ est $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $425$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $1700 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$425 x^{4} + 5 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Associez $\frac{10}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $\frac{10 x^{3}}{3}$ par $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $51$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun à $510$ et $6$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Factorisez $6$ à partir de $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.5.2.4

Divisez $85 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.6.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.7

Comme $85$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $85 x^{5}$ par rapport à $x$ est $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $5$ par $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $425 x^{4} + 5$ et $0$ .

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $425 x^{4} + 5$ .

$425 x^{4} + 5$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $425 x^{4} + 5 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$425 x^{4} + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$425 x^{4} = - 5$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $425 x^{4} = - 5$ par $425$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $425 x^{4} = - 5$ par $425$ .

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $425$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $425$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $425$ .

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

Étape 9.2

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Étape 9.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Étape 9.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

Étape 9.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

Étape 9.6

Élevez $85$ à la puissance $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée première $425 x^{4} + 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $425$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 5$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$f' (0) = 5$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 10.3

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11