Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{7}}{e^{x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.5

Associez $3$ et $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.2.1.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.4

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

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Étape 1.6.4.1

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.4.2

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.4.3

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.5

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 1.6.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Étape 1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Étape 1.6.5.2.4

Divisez $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ par $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Étape 1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Étape 1.6.7

Multipliez $7$ par $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Étape 1.6.8

Multipliez $x^{6}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.8.1

Déplacez $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Étape 1.6.8.2

Multipliez $x$ par $x^{6}$ .

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Étape 1.6.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Étape 1.6.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Étape 1.6.8.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Étape 1.6.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Étape 1.6.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x^{6} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x^{6} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{7} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{- x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$f'' (x) = - 21 (x^{6} (e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $6$ par $21$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 (e^{- x} (x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 (x^{7} (e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Étape 2.4.3.4

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x} - 21 (e^{- x} (x^{6}))$

Étape 2.4.3.5

Soustrayez $21 e^{- x} x^{6}$ de $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

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Étape 2.4.3.5.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Étape 2.4.3.5.2

Soustrayez $21 x^{6} e^{- x}$ de $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$

Étape 2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 x^{5} e^{- x} + 3 x^{7} e^{- x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Étape 4.1.2

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.5

Associez $3$ et $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

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Étape 4.1.6.4.1

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.4.2

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.4.3

Factorisez $3 e^{x} x^{6}$ à partir de $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.5

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Étape 4.1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 4.1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 4.1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Étape 4.1.6.5.2.4

Divisez $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ par $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Étape 4.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Étape 4.1.6.7

Multipliez $7$ par $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Étape 4.1.6.8

Multipliez $x^{6}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.8.1

Déplacez $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Étape 4.1.6.8.2

Multipliez $x$ par $x^{6}$ .

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Étape 4.1.6.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Étape 4.1.6.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Étape 4.1.6.8.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Étape 4.1.6.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Étape 4.1.6.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f' (x) = 21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $3 x^{6} e^{- x}$ à partir de $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 x^{6} e^{- x}$ à partir de $21 x^{6} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 x^{6} e^{- x}$ à partir de $- 3 x^{7} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 x^{6} e^{- x}$ à partir de $3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x)$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{6} = 0$

$e^{- x} = 0$

$7 - x = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{6}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{6}$ égal à $0$ .

$x^{6} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{6} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 5.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.6

Définissez $7 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $7 - x$ égal à $0$ .

$7 - x = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $7 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 7$

Étape 5.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.2.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x = 7$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 7$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 7$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 42 {(0)}^{6} e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 42 \cdot 0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 42$ par $0$ .

$0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e^{0} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 126 \cdot 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.7

Multipliez $126$ par $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.10

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Étape 9.1.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 3 \cdot 0 e^{- (0)}$

Étape 9.1.12

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Étape 9.1.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Étape 9.1.14

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Étape 9.1.15

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 21 {(- 2)}^{6} e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$f' (- 2) = 21 \cdot (64 e^{- (- 2)}) - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $21$ par $64$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $7$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 \cdot (- 128 e^{- (- 2)})$

Étape 10.2.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 128$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{2}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $1344 e^{2}$ et $384 e^{2}$ .

$f' (- 2) = 1728 e^{2}$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $1728 e^{2}$ .

$1728 e^{2}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(0, 7)$ dans la dérivée première $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 21 {(4)}^{6} e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $6$ .

$f' (4) = 21 \cdot (4096 e^{- (4)}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $21$ par $4096$ .

$f' (4) = 86016 e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Étape 10.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = 86016 e^{- 4} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Étape 10.3.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = 86016 (\frac{1}{e^{4}}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Étape 10.3.2.1.5

Associez $86016$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Étape 10.3.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 \cdot (16384 e^{- (4)})$

Étape 10.3.2.1.7

Multipliez $- 3$ par $16384$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- (4)}$

Étape 10.3.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- 4}$

Étape 10.3.2.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 \frac{1}{e^{4}}$

Étape 10.3.2.1.10

Associez $- 49152$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} + \frac{- 49152}{e^{4}}$

Étape 10.3.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - \frac{49152}{e^{4}}$

Étape 10.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{86016 - 49152}{e^{4}}$

Étape 10.3.2.2.2

Soustrayez $49152$ de $86016$ .

$f' (4) = \frac{36864}{e^{4}}$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $\frac{36864}{e^{4}}$ .

$\frac{36864}{e^{4}}$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $10$ , de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée première $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = 21 {(10)}^{6} e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $6$ .

$f' (10) = 21 \cdot (1000000 e^{- (10)}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $21$ par $1000000$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- 10} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Étape 10.4.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = 21000000 (\frac{1}{e^{10}}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Étape 10.4.2.1.5

Associez $21000000$ et $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Étape 10.4.2.1.6

Élevez $10$ à la puissance $7$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 \cdot (10000000 e^{- (10)})$

Étape 10.4.2.1.7

Multipliez $- 3$ par $10000000$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- (10)}$

Étape 10.4.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- 10}$

Étape 10.4.2.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 \frac{1}{e^{10}}$

Étape 10.4.2.1.10

Associez $- 30000000$ et $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} + \frac{- 30000000}{e^{10}}$

Étape 10.4.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - \frac{30000000}{e^{10}}$

Étape 10.4.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (10) = \frac{21000000 - 30000000}{e^{10}}$

Étape 10.4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.2.2.1

Soustrayez $30000000$ de $21000000$ .

$f' (10) = \frac{- 9000000}{e^{10}}$

Étape 10.4.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (10) = - \frac{9000000}{e^{10}}$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- \frac{9000000}{e^{10}}$ .

$- \frac{9000000}{e^{10}}$

Étape 10.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 7$ , $x = 7$ est un maximum local.

$x = 7$ est un maximum local

Étape 11