Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 1.5.2

Associez les fractions.

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 1.5.2.2

Associez $4$ et $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 1.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Étape 1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 1.6.4

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

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Étape 1.6.4.1

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 1.6.4.2

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Étape 1.6.4.3

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Étape 1.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{8}$ .

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Étape 1.6.5.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Étape 1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.5.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

Étape 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.5.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.7.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

Étape 2.7.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

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Étape 2.7.2.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Étape 2.7.2.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Étape 2.7.2.2.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

Étape 2.9

Associez $4$ et $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Étape 2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.1.4

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.1.6

Multipliez $20$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.2

Soustrayez $16 x e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.3

Soustrayez $20 e^{x} x$ de $- 12 x e^{x}$ .

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Étape 2.10.5.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.5.3.2

Soustrayez $20 x e^{x}$ de $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.7.1

Factorisez $4 e^{x}$ à partir de $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ .

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Étape 2.10.7.1.1

Factorisez $4 e^{x}$ à partir de $- 32 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.7.1.2

Factorisez $4 e^{x}$ à partir de $4 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Étape 2.10.7.1.3

Factorisez $4 e^{x}$ à partir de $80 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Étape 2.10.7.1.4

Factorisez $4 e^{x}$ à partir de $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Étape 2.10.7.1.5

Factorisez $4 e^{x}$ à partir de $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

Étape 2.10.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

Étape 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Étape 4.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

Étape 4.1.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

Étape 4.1.5.2.2

Associez $4$ et $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

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Étape 4.1.6.4.1

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.4.2

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.4.3

Factorisez $4 e^{x} x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{8}$ .

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Étape 4.1.6.5.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Étape 4.1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.6.5.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 4.1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 4.1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.3.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 e^{x} (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{5} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $4$ et ${(4)}^{6}$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

Étape 9.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de ${(4)}^{6}$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Étape 9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

Étape 9.2.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $- 16$ et $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $1024$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1024$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{4}}{256}$

Étape 10

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et ${(4)}^{4}$ .

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Étape 11.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

Étape 11.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de ${(4)}^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

Étape 11.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

Étape 11.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

Étape 11.2.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ est un minimum local

Étape 13