Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x^{2} + 10 x + 45$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3} - 12 x^{2} + 10 x + 45$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$4 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 + \frac{d}{d x} [45]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $4 x^{2} - 24 x + 10$ et $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 24 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $8 x - 24$ et $0$ .

$f'' (x) = 8 x - 24$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{2} - 24 x + 10 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 + \frac{d}{d x} (45)$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $4 x^{2} - 24 x + 10$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{2} - 24 x + 10$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{2} - 24 x + 10 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 24 x + 10$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 24 x + 10 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 24 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 10 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (5) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 12 x) + 2 (5) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - 12 x) + 2 (5)$ .

$2 (2 x^{2} - 12 x + 5) = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 12 x + 5)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{2} - 12 x + 5)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $2 x^{2} - 12 x + 5$ par $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 5 = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 5 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 12$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $40$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{2}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 5.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.1.3

Soustrayez $40$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 5.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$

Étape 5.7.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{2}$

Étape 5.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$

Étape 5.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 5.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.1.3

Soustrayez $40$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 5.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$

Étape 5.8.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{2}$

Étape 5.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$

Étape 5.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}, \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}, \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) - 24$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{6 + \sqrt{26}}{2} - 24$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{6 + \sqrt{26}}{2} - 24$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 (6 + \sqrt{26}) - 24$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 6 + 4 \sqrt{26} - 24$

Étape 9.1.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 + 4 \sqrt{26} - 24$

Étape 9.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0 + 4 \sqrt{26}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $4 \sqrt{26}$ .

$4 \sqrt{26}$

Étape 10

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{3}}{2^{3}} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.2

Associez.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 8} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{24} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

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Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 ({(6 + \sqrt{26})}^{3})}{24} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.7.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 {\sqrt{26}}^{2} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.5

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{2}$ comme $26$ .

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Étape 11.2.1.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{26}$ comme $26^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.6

Multipliez $18$ par $26$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.7

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{3}$ comme $\sqrt{26^{3}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{26^{3}}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.8

Élevez $26$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{17576}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.9

Réécrivez $17576$ comme $26^{2} \cdot 26$ .

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Étape 11.2.1.7.9.1

Factorisez $676$ à partir de $17576$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{676 (26)}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.9.2

Réécrivez $676$ comme $26^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{26^{2} \cdot 26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.7.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.8

Additionnez $216$ et $468$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 + 108 \sqrt{26} + 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.9

Additionnez $108 \sqrt{26}$ et $26 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 + 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.10

Annulez le facteur commun à $684 + 134 \sqrt{26}$ et $6$ .

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Étape 11.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $684$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) + 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $134 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) + 2 (67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (342) + 2 (67 \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 + 67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 + 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 + 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{4} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} + 4 (- 3) (\frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 {(6 + \sqrt{26})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.14

Réécrivez ${(6 + \sqrt{26})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{26}) (6 + \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 ((6 + \sqrt{26}) (6 + \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.15

Développez $(6 + \sqrt{26}) (6 + \sqrt{26})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 (6 + \sqrt{26}) + \sqrt{26} (6 + \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} (6 + \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \cdot 6 + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.16.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \cdot 6 + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \cdot \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26 \cdot 26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.1.4

Multipliez $26$ par $26$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + \sqrt{676}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.1.5

Réécrivez $676$ comme $26^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26^{2}}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + 26) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.2

Additionnez $36$ et $26$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.16.3

Additionnez $6 \sqrt{26}$ et $6 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 + 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 \cdot 62 - 3 (12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.18

Multipliez $- 3$ par $62$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 3 (12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.19

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 2 (5) (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 11.2.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 2 \cdot (5 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2})) + 45$

Étape 11.2.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 5 (6 + \sqrt{26}) + 45$

Étape 11.2.1.21

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 5 \cdot 6 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.1.22

Multipliez $5$ par $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 186$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 \cdot \frac{3}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.3

Associez $- 186$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 186 \cdot 3}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26} - 186 \cdot 3}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 186$ par $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26} - 558}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.4.3

Soustrayez $558$ de $342$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26}}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.5

Pour écrire $- 36 \sqrt{26}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26}}{3} - 36 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1

Associez $- 36 \sqrt{26}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26} - 36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.7.1

Multipliez $3$ par $- 36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26} - 108 \sqrt{26}}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.7.2

Soustrayez $108 \sqrt{26}$ de $67 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26}}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.8

Pour écrire $30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26}}{3} + 30 \cdot \frac{3}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.9

Associez $30$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{30 \cdot 3}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26} + 30 \cdot 3}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.10.2

Multipliez $30$ par $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26} + 90}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.10.3

Additionnez $- 216$ et $90$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26}}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 11.2.11

Pour écrire $5 \sqrt{26}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26}}{3} + 5 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 45$

Étape 11.2.12

Associez les fractions.

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Étape 11.2.12.1

Associez $5 \sqrt{26}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Étape 11.2.12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26} + 5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Étape 11.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.13.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26} + 15 \sqrt{26}}{3} + 45$

Étape 11.2.13.2

Additionnez $- 41 \sqrt{26}$ et $15 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26}}{3} + 45$

Étape 11.2.14

Pour écrire $45$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26}}{3} + 45 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.15

Associez les fractions.

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Étape 11.2.15.1

Associez $45$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26}}{3} + \frac{45 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.15.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26} + 45 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.16.1

Multipliez $45$ par $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26} + 135}{3}$

Étape 11.2.16.2

Additionnez $- 126$ et $135$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3}$

Étape 11.2.17

La réponse finale est $\frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3}$ .

$y = \frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) - 24$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{6 - \sqrt{26}}{2} - 24$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{6 - \sqrt{26}}{2} - 24$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 (6 - \sqrt{26}) - 24$

Étape 13.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 6 + 4 (- \sqrt{26}) - 24$

Étape 13.1.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 + 4 (- \sqrt{26}) - 24$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$24 - 4 \sqrt{26} - 24$

Étape 13.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0 - 4 \sqrt{26}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{26}$ de $0$ .

$- 4 \sqrt{26}$

Étape 14

$x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{3}}{2^{3}} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.2

Associez.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 8} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{24} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 ({(6 - \sqrt{26})}^{3})}{24} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{26})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.7.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{26})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{26})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 (- \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.4

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.5

Multipliez $3$ par $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 {(- \sqrt{26})}^{2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{26}}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 (1 {\sqrt{26}}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.8

Multipliez ${\sqrt{26}}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 {\sqrt{26}}^{2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.9

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{2}$ comme $26$ .

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Étape 15.2.1.7.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{26}$ comme $26^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.7.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.10

Multipliez $18$ par $26$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.13

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{3}$ comme $\sqrt{26^{3}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{26^{3}}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.14

Élevez $26$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{17576}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.15

Réécrivez $17576$ comme $26^{2} \cdot 26$ .

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Étape 15.2.1.7.15.1

Factorisez $676$ à partir de $17576$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{676 (26)}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.15.2

Réécrivez $676$ comme $26^{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{26^{2} \cdot 26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - (26 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.7.17

Multipliez $26$ par $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.8

Additionnez $216$ et $468$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 - 108 \sqrt{26} - 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.9

Soustrayez $26 \sqrt{26}$ de $- 108 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 - 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.10

Annulez le facteur commun à $684 - 134 \sqrt{26}$ et $6$ .

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Étape 15.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $684$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) - 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 134 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) + 2 (- 67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (342) + 2 (- 67 \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 - 67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 - 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 - 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{4} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} + 4 (- 3) (\frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 {(6 - \sqrt{26})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.14

Réécrivez ${(6 - \sqrt{26})}^{2}$ comme $(6 - \sqrt{26}) (6 - \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 ((6 - \sqrt{26}) (6 - \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.15

Développez $(6 - \sqrt{26}) (6 - \sqrt{26})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 (6 - \sqrt{26}) - \sqrt{26} (6 - \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{26}) - \sqrt{26} (6 - \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{26}) - \sqrt{26} \cdot 6 - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.16.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 (- \sqrt{26}) - \sqrt{26} \cdot 6 - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - \sqrt{26} \cdot 6 - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.4

Multipliez $- \sqrt{26} (- \sqrt{26})$ .

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Étape 15.2.1.16.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 1 \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.4.2

Multipliez $\sqrt{26}$ par $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.4.3

Élevez $\sqrt{26}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.4.4

Élevez $\sqrt{26}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + {\sqrt{26}}^{1 + 1}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + {\sqrt{26}}^{2}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.5

Réécrivez ${\sqrt{26}}^{2}$ comme $26$ .

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Étape 15.2.1.16.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{26}$ comme $26^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + {(26^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26^{\frac{2}{2}}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.16.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26^{\frac{2}{2}}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.2

Additionnez $36$ et $26$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.16.3

Soustrayez $6 \sqrt{26}$ de $- 6 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 - 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 \cdot 62 - 3 (- 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.18

Multipliez $- 3$ par $62$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 3 (- 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.19

Multipliez $- 12$ par $- 3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 2 (5) (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Étape 15.2.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 2 \cdot (5 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2})) + 45$

Étape 15.2.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 5 (6 - \sqrt{26}) + 45$

Étape 15.2.1.21

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 5 \cdot 6 + 5 (- \sqrt{26}) + 45$

Étape 15.2.1.22

Multipliez $5$ par $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 30 + 5 (- \sqrt{26}) + 45$

Étape 15.2.1.23

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.2

Pour écrire $- 186$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 \cdot \frac{3}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.3

Associez $- 186$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 186 \cdot 3}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26} - 186 \cdot 3}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 186$ par $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26} - 558}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.4.3

Soustrayez $558$ de $342$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26}}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.5

Pour écrire $36 \sqrt{26}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26}}{3} + 36 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.6

Associez les fractions.

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Étape 15.2.6.1

Associez $36 \sqrt{26}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26} + 36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.7.1

Multipliez $3$ par $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26} + 108 \sqrt{26}}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.7.2

Additionnez $- 67 \sqrt{26}$ et $108 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26}}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.8

Pour écrire $30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26}}{3} + 30 \cdot \frac{3}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.9

Associez $30$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{30 \cdot 3}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26} + 30 \cdot 3}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.10.2

Multipliez $30$ par $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26} + 90}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.10.3

Additionnez $- 216$ et $90$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26}}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Étape 15.2.11

Pour écrire $- 5 \sqrt{26}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26}}{3} - 5 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 45$

Étape 15.2.12

Associez les fractions.

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Étape 15.2.12.1

Associez $- 5 \sqrt{26}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Étape 15.2.12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26} - 5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Étape 15.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.13.1

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26} - 15 \sqrt{26}}{3} + 45$

Étape 15.2.13.2

Soustrayez $15 \sqrt{26}$ de $41 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26}}{3} + 45$

Étape 15.2.14

Pour écrire $45$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26}}{3} + 45 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.15

Associez les fractions.

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Étape 15.2.15.1

Associez $45$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26}}{3} + \frac{45 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.15.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26} + 45 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.16.1

Multipliez $45$ par $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26} + 135}{3}$

Étape 15.2.16.2

Additionnez $- 126$ et $135$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3}$

Étape 15.2.17

La réponse finale est $\frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3}$ .

$y = \frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x^{2} + 10 x + 45$ .

$(\frac{6 + \sqrt{26}}{2}, \frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3})$ est un minimum local

$(\frac{6 - \sqrt{26}}{2}, \frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3})$ est un maximum local

Étape 17