Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | x |$

Étape 1

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $| x |$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.4

Associez $\frac{x}{| x |}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.2.1

Pour écrire $| x |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.2.3.1

Multipliez $| x | | x |$ .

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Étape 2.9.2.3.1.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.3.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.2.4

Divisez $0$ par $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.9.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Étape 2.9.4

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x}{| x |} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 5.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x}{| x |} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{| x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x | = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$0$

Étape 9

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 9.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 9.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{x}{| x |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 9.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

Étape 9.2.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 9.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{x}{| x |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 9.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.3.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

Étape 9.3.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (2) = 1$

Étape 9.3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 9.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10