Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{- 7} + x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $- 7$ et $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{6}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $6$ par $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{7}{x^{8}}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{8}}$ comme ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{8}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{8})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 16}$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $16$ de $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 8$ par $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Étape 2.4.2

Associez $56$ et $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $42 x^{5}$ par rapport à $x$ est $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $5$ par $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{56}{x^{9}}$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{9}}$ comme ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{9}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{9})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Étape 3.3.7

Multipliez $x^{- 18}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $18$ de $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 9$ par $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 504$ et $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $210$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $210 x^{4}$ par rapport à $x$ est $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Étape 4.2.3

Multipliez $4$ par $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 504$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{504}{x^{10}}$ par rapport à $x$ est $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{10}}$ comme ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{10}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{10})}^{- 2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Étape 4.3.6

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Étape 4.3.7

Multipliez $x^{- 20}$ par $x^{9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.1

Déplacez $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Étape 4.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Étape 4.3.7.3

Soustrayez $20$ de $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 10$ par $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Étape 4.4.2

Associez $5040$ et $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$