Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 1) e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $x e^{x}$ et $0$ .

$x e^{x}$

Étape 1.4.3

Réorganisez les facteurs de $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Étape 1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x$ .

$x e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 2.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 4.1.3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Étape 4.1.4.2.2

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Étape 4.1.4.2.3

Additionnez $x e^{x}$ et $0$ .

$x e^{x}$

Étape 4.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Étape 4.1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x$ .

$f' (x) = x e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{x}$ .

$x e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x e^{x} = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Étape 5.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{x} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$(0) e^{0} + e^{0}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{0}$

Étape 9.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + e^{0}$

Étape 9.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 1$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = ((0) - 1) \cdot e^{0}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1 \cdot e^{0}$

Étape 11.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = - 1 \cdot 1$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = - 1$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

$(0, - 1)$ est un minimum local

Étape 13