Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{4} - 96 x + 7$

Étape 1

Écrivez $3 x^{4} - 96 x + 7$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 96 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96 x$ par rapport à $x$ est $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 96$ par $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 96$ et $0$ .

$12 x^{3} - 96$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 96$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $36 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 96 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96 x$ par rapport à $x$ est $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 96$ par $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 96$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 96$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 96$ .

$12 x^{3} - 96$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 96 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 96 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $96$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{3} = 96$

Étape 6.3

Soustrayez $96$ des deux côtés de l’équation.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Étape 6.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3} - 96$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 96 = 0$

Étape 6.4.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 96$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 8 = 0$

Étape 6.4.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3} + 12 \cdot - 8$ .

$12 (x^{3} - 8) = 0$

Étape 6.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$12 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 6.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.4.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 6.4.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Étape 6.4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 6.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 6.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.7

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 6.7.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.7.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 6.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.7.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 6.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 6.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(2)}^{2}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$36 \cdot 4$

Étape 10.2

Multipliez $36$ par $4$ .

$144$

Étape 11

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 3 {(2)}^{4} - 96 \cdot 2 + 7$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 3 \cdot 16 - 96 \cdot 2 + 7$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f (2) = 48 - 96 \cdot 2 + 7$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $2$ .

$f (2) = 48 - 192 + 7$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Soustrayez $192$ de $48$ .

$f (2) = - 144 + 7$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $- 144$ et $7$ .

$f (2) = - 137$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 137$ .

$y = - 137$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$ .

$(2, - 137)$ est un minimum local

Étape 14