Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Étape 1

Écrivez $3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$9 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $9 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$9 x^{2} - 6 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x - 6 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 18 x - 6$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$9 x^{2} - 6 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$9 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $9 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 6 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x^{2} - 6 x$ .

$9 x^{2} - 6 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$9 x^{2} - 6 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $3 x$ à partir de $9 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$3 x (3 x) - 6 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x (3 x) + 3 x (- 2) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (3 x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (3 x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (3 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$18 (0) - 6$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $18$ par $0$ .

$0 - 6$

Étape 10.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Étape 12.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$18 (\frac{2}{3}) - 6$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$3 (6) \frac{2}{3} - 6$

Étape 14.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 6 \frac{2}{3} - 6$

Étape 14.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \cdot 2 - 6$

Étape 14.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$12 - 6$

Étape 14.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$6$

Étape 15

$x = \frac{2}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2}{3}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{3} - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{8}{3^{3}}) - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{8}{27}) - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 16.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{8}{3 (9)}) - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{8}{3 \cdot 9}) - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$

Étape 16.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - 3 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 1$

Étape 16.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - 3 \frac{4}{3^{2}} + 1$

Étape 16.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - 3 (\frac{4}{9}) + 1$

Étape 16.2.1.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 16.2.1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} + 3 (- 1) (\frac{4}{9}) + 1$

Étape 16.2.1.8.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} + 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 1$

Étape 16.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} + 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 1$

Étape 16.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - 1 (\frac{4}{3}) + 1$

Étape 16.2.1.9

Réécrivez $- 1 (\frac{4}{3})$ comme $- (\frac{4}{3})$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{4}{3} + 1$

Étape 16.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 16.2.2.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Étape 16.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Étape 16.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 16.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Étape 16.2.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Étape 16.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 4 \cdot 3 + 9}{9}$

Étape 16.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 12 + 9}{9}$

Étape 16.2.4.2

Soustrayez $12$ de $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4 + 9}{9}$

Étape 16.2.4.3

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{5}{9}$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $\frac{5}{9}$ .

$y = \frac{5}{9}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{9})$ est un minimum local

Étape 18