Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + 255 x + 5000$

Étape 1

Écrivez $2 x^{2} + 255 x + 5000$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{2} + 255 x + 5000$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 255 x + 5000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [255 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $255$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $255 x$ par rapport à $x$ est $255 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 255 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 255 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.3.3

Multipliez $255$ par $1$ .

$4 x + 255 + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $5000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 255 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4 x + 255$ et $0$ .

$4 x + 255$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 255$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [255]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (255)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (255)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (255)$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (255)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $255$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $255$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x + 255 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 255 x + 5000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [255 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $255$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $255 x$ par rapport à $x$ est $255 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 255 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 255 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $255$ par $1$ .

$4 x + 255 + \frac{d}{d x} [5000]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $5000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 255 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4 x + 255$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x + 255$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x + 255$ .

$4 x + 255$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x + 255 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x + 255 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $255$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 255$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $4 x = - 255$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 255$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 255}{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 255}{4}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 255}{4}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{255}{4}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{255}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{255}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4$

Étape 10

$x = - \frac{255}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{255}{4}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{255}{4}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{255}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{255}{4}) = 2 {(- \frac{255}{4})}^{2} + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{255}{4}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{255}{4})}^{2}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{255}{4}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{255^{2}}{4^{2}})) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (1 (\frac{255^{2}}{4^{2}})) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $\frac{255^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{255^{2}}{4^{2}}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.4

Élevez $255$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{4^{2}}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{16}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{2 (8)}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{2 \cdot 8}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $255 (- \frac{255}{4})$ .

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Étape 11.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $255$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - 255 (\frac{255}{4}) + 5000$

Étape 11.2.1.7.2

Associez $- 255$ et $\frac{255}{4}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} + \frac{- 255 \cdot 255}{4} + 5000$

Étape 11.2.1.7.3

Multipliez $- 255$ par $255$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} + \frac{- 65025}{4} + 5000$

Étape 11.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025}{4} + 5000$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{65025}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - (\frac{65025}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5000$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{65025}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5000$

Étape 11.2.2.3

Écrivez $5000$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5000}{1}$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{5000}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5000}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{5000}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5000 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5000 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{8} + \frac{5000 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025 - 65025 \cdot 2 + 5000 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 65025$ par $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025 - 130050 + 5000 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $5000$ par $8$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025 - 130050 + 40000}{8}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.5.1

Soustrayez $130050$ de $65025$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{- 65025 + 40000}{8}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 65025$ et $40000$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{- 25025}{8}$

Étape 11.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{255}{4}) = - \frac{25025}{8}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $- \frac{25025}{8}$ .

$y = - \frac{25025}{8}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{2} + 255 x + 5000$ .

$(- \frac{255}{4}, - \frac{25025}{8})$ est un minimum local

Étape 13