Calcul infinitésimal Exemples

$4 x - 64 x^{- 3}$

Étape 1

Écrivez $4 x - 64 x^{- 3}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 64 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$192 x^{- 4} + 4$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

Étape 2.4.2.2

Associez $192$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{192}{x^{4}} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $192$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{192}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 4$ par $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 768$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $- \frac{768}{x^{5}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

Étape 5

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 6

Aucun extremum local

Étape 7