Calcul infinitésimal Exemples

$6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = 6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$0 + 24 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 24 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 24 x - 8 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$0 + 24 x - 24 x^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $0$ et $24 x$ .

$24 x - 24 x^{2}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 24 x^{2} + 24 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 24 x^{2} + 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f'' (x) = - 48 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 48 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 x + 24 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 24 x^{2} + 24 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 5.1.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$0 + 24 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 24 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 24 x - 8 (3 x^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$0 + 24 x - 24 x^{2}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Additionnez $0$ et $24 x$ .

$24 x - 24 x^{2}$

Étape 5.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 24 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 24 x^{2} + 24 x$ .

$- 24 x^{2} + 24 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 24 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 24 x^{2} + 24 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $- 24 x$ à partir de $- 24 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 24 x$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$- 24 x \cdot x + 24 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 24 x$ à partir de $24 x$ .

$- 24 x \cdot x - 24 x \cdot - 1 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 24 x$ à partir de $- 24 x (x) - 24 x (- 1)$ .

$- 24 x (x - 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 24 x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 48 \cdot 0 + 24$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $- 48$ par $0$ .

$0 + 24$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $24$ .

$24$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 6 + 12 {(0)}^{2} - 8 {(0)}^{3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 6 + 12 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f (0) = 6 + 0 - 8 {(0)}^{3}$

Étape 12.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 6 + 0 - 8 \cdot 0$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$f (0) = 6 + 0 + 0$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$f (0) = 6 + 0$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f (0) = 6$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 48 \cdot 1 + 24$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$- 48 + 24$

Étape 14.2

Additionnez $- 48$ et $24$ .

$- 24$

Étape 15

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 6 + 12 {(1)}^{2} - 8 {(1)}^{3}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 6 + 12 \cdot 1 - 8 {(1)}^{3}$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f (1) = 6 + 12 - 8 {(1)}^{3}$

Étape 16.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 6 + 12 - 8 \cdot 1$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f (1) = 6 + 12 - 8$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $6$ et $12$ .

$f (1) = 18 - 8$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $8$ de $18$ .

$f (1) = 10$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ .

$(0, 6)$ est un minimum local

$(1, 10)$ est un maximum local

Étape 18