Calcul infinitésimal Exemples

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 1.1.2

Comme $375$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $375$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $0.75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Étape 1.2.9

Associez $0.75$ et $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Étape 1.2.10

Multipliez $3$ par $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Étape 1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 1.3.2

Factorisez $2.25$ à partir de $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Étape 1.3.4

Séparez les fractions.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 1.3.5

Divisez $2.25$ par $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 1.3.6

Associez $0.5625$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $0.5625$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ par rapport à $x$ est $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{5}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Étape 2.11

Associez $- 0.5625$ et $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Placez $x^{- \frac{5}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Étape 2.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $375$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $375$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $0.75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Étape 4.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Étape 4.1.2.8

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Étape 4.1.2.9

Associez $0.75$ et $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $3$ par $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Étape 4.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $2.25$ à partir de $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Étape 4.1.3.4

Séparez les fractions.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 4.1.3.5

Divisez $2.25$ par $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 4.1.3.6

Associez $0.5625$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $C (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$0.5625 = 0$

Étape 5.3

Comme $0.5625 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{4}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{0.5625}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11