Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2} x^{2} - x$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x - 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 1 + 0$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 1$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x - 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x - 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x - 1$ .

$x - 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x - 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$1$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - (1)$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - (1)$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 1$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 2}{2}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{1}{2}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$ .

$(1, - \frac{1}{2})$ est un minimum local

Étape 13