Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Étape 1

Écrivez $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.9

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2

Associez des termes.

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Étape 2.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.2

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.10.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.4

Associez $4$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.6

Associez $x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10.2.9

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.9

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Étape 3.3.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Étape 3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Étape 3.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 3.3.12

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 3.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Étape 3.3.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 3.3.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Étape 3.3.13.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Étape 3.3.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Étape 3.3.14

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Étape 3.3.15

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 3.3.16

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 3.3.17

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 5.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 5.1.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 5.1.9

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.2

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.10.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.10.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.4

Associez $4$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.6

Associez $x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.10.2.9

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Étape 6.2.2

Comme $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $3, 3, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{2}{3}}$ .

Étape 6.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 6.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.2.6

Le plus petit multiple commun de $3, 3, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 6.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{2}{3}}$

Étape 6.2.8

Le plus petit multiple commun pour $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.3.5

Divisez $3$ par $3$ .

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.4

Simplifiez $4 x^{1}$ .

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Multipliez $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 6.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x + 4 = 0$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 4$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 4$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 4$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1

Divisez $- 4$ par $4$ .

$x = - 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 7.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x^{2} = 0$

Étape 7.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 1, 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{2}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9 \cdot 1} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.3.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 10.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 10.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{5}}$

Étape 10.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 \cdot - 1}$

Étape 10.1.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{- 9}$

Étape 10.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{9} - - \frac{8}{9}$

Étape 10.1.6

Multipliez $- - \frac{8}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{9} + 1 (\frac{8}{9})$

Étape 10.1.6.2

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{8}{9}$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 8}{9}$

Étape 10.2.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$\frac{12}{9}$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (4)}{9}$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3}$

Étape 11

$x = - 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 1) = (- 1) ((- 1) + 4)$

Étape 12.2.3

Évaluez l’exposant.

$f (- 1) = - 1 ((- 1) + 4)$

Étape 12.2.4

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 3$

Étape 12.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- 1) = - 3$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = \frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2

La réponse finale est $\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.2.1.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.6.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.2

La réponse finale est $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un minimum local.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 15.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 15.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ .

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 16