Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 6) (x - 6))]$

Étape 2.2

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 6) - 6 (x - 6))]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)]$

Étape 2.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 12 x + 36)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ et $g (x) = x^{2} - 12 x + 36$ .

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.6

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.7

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 2.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 2.9.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 2.11

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 2.12

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3

Associez des termes.

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Étape 2.13.3.1

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 2.13.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.1.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.3

Déplacez $- 12$ à gauche de $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.6

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.7.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7.4

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.7.6.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.7.6.2

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.8

Associez $- 12$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 12 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.9

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.10

Associez $x$ et $\frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.11

Déplacez $- 48$ à gauche de $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.12

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.13

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.13.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{5}}$ par $x$ .

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Étape 2.13.3.13.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.13.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.13.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.15

Associez $36$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{36 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.16

Multipliez $36$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.17

Pour écrire $2 x^{\frac{9}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.18

Associez $2 x^{\frac{9}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.20

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.21

Additionnez $10 x^{\frac{9}{5}}$ et $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.22

Pour écrire $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.23

Associez $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.25

Multipliez $5$ par $- 12$ .

$\frac{- 60 x^{\frac{4}{5}} - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.26

Soustrayez $48 x^{\frac{4}{5}}$ de $- 60 x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.3.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.13.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{14}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{14}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.7

Associez $\frac{9}{5}$ et $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.8

Multipliez $\frac{14}{5}$ par $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (9 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.9

Multipliez $9$ par $14$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.2.10

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{144}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{144}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.11

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.13

Multipliez $x^{- \frac{4}{5}}$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.13.3

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.14

Placez $x^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.15

Multipliez $\frac{144}{5}$ par $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.3.16

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- \frac{108}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{108}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 3.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 3.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 3.4.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 3.4.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 3.4.9

Multipliez $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ par $\frac{108}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} \cdot 108}{5 \cdot 5}$

Étape 3.4.10

Multipliez $108$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.4.11

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 x^{- \frac{1}{5}}}{25}$

Étape 3.4.12

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 6) (x - 6))]$

Étape 5.1.2

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 6) - 6 (x - 6))]$

Étape 5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))]$

Étape 5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Étape 5.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Étape 5.1.3.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Étape 5.1.3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)]$

Étape 5.1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 12 x + 36)]$

Étape 5.1.4

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5

Différenciez.

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Étape 5.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.6

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.7

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 5.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 5.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 5.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 5.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 5.1.9.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 5.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 5.1.11

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 5.1.12

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13

Simplifiez

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Étape 5.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3

Associez des termes.

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Étape 5.1.13.3.1

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.13.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 5.1.13.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.1.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.3

Déplacez $- 12$ à gauche de $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.6

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.13.3.7.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7.4

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.13.3.7.6.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.7.6.2

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.8

Associez $- 12$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 12 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.9

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.10

Associez $x$ et $\frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.11

Déplacez $- 48$ à gauche de $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.12

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.13

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.13.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.13.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{5}}$ par $x$ .

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Étape 5.1.13.3.13.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.13.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.13.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.15

Associez $36$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{36 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.16

Multipliez $36$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.17

Pour écrire $2 x^{\frac{9}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.18

Associez $2 x^{\frac{9}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.20

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.21

Additionnez $10 x^{\frac{9}{5}}$ et $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.22

Pour écrire $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.23

Associez $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.25

Multipliez $5$ par $- 12$ .

$\frac{- 60 x^{\frac{4}{5}} - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.26

Soustrayez $48 x^{\frac{4}{5}}$ de $- 60 x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.3.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5.1.13.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$

Étape 6.2.2

Comme $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $5, 5, 5, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{1}{5}}$ .

Étape 6.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.2.4

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 6.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.2.6

Le plus petit multiple commun de $5, 5, 5, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 6.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{5}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{5}}$

Étape 6.2.8

Le plus petit multiple commun pour $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ par $5 x^{\frac{1}{5}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ par $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$14 x^{\frac{9}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{9}{5}}$ par $x^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{9}{5}}) + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 x^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$14 x^{\frac{1 + 9}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $9$ .

$14 x^{\frac{10}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.3.5

Divisez $10$ par $5$ .

$14 x^{2} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$14 x^{2} + 5 \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$14 x^{2} + 5 \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$14 x^{2} + \frac{144}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$14 x^{2} + \frac{144}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$14 x^{2} + 144 - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ dans le numérateur.

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.7.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.8

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1.8.1

Déplacez $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{1 + 4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.8.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{5}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.8.5

Divisez $5$ par $5$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{1} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.2.1.9

Simplifiez $- 108 x^{1}$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 6.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x^{2} + 144 - 108 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x^{2}$ .

$2 (7 x^{2}) + 144 - 108 x = 0$

Étape 6.4.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $144$ .

$2 (7 x^{2}) + 2 (72) - 108 x = 0$

Étape 6.4.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 108 x$ .

$2 (7 x^{2}) + 2 (72) + 2 (- 54 x) = 0$

Étape 6.4.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 x^{2}) + 2 (72)$ .

$2 (7 x^{2} + 72) + 2 (- 54 x) = 0$

Étape 6.4.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 x^{2} + 72) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (7 x^{2} + 72 - 54 x) = 0$

Étape 6.4.1.2

Factorisez.

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Étape 6.4.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.4.1.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (7 x^{2} - 54 x + 72) = 0$

Étape 6.4.1.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot 72 = 504$ et dont la somme est $b = - 54$ .

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Étape 6.4.1.2.1.2.1

Factorisez $- 54$ à partir de $- 54 x$ .

$2 (7 x^{2} - 54 x + 72) = 0$

Étape 6.4.1.2.1.2.2

Réécrivez $- 54$ comme $- 12$ plus $- 42$

$2 (7 x^{2} + (- 12 - 42) x + 72) = 0$

Étape 6.4.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (7 x^{2} - 12 x - 42 x + 72) = 0$

Étape 6.4.1.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.4.1.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((7 x^{2} - 12 x) - 42 x + 72) = 0$

Étape 6.4.1.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x (7 x - 12) - 6 (7 x - 12)) = 0$

Étape 6.4.1.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x - 12$ .

$2 ((7 x - 12) (x - 6)) = 0$

Étape 6.4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (7 x - 12) (x - 6) = 0$

Étape 6.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x - 12 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 6.4.3

Définissez $7 x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.3.1

Définissez $7 x - 12$ égal à $0$ .

$7 x - 12 = 0$

Étape 6.4.3.2

Résolvez $7 x - 12 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.3.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 12$

Étape 6.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 12$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 6.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 12$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Étape 6.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Étape 6.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{7}$

Étape 6.4.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.4.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (7 x - 12) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{12}{7}, 6$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 7.1.3

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{108 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

Étape 7.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x}} - \frac{108 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{144}{5 \sqrt[5]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$3125 x = 0^{5}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 x = 0$

Étape 7.3.3

Divisez chaque terme dans $3125 x = 0$ par $3125$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 x = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 7.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 7.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 7.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{12}{7}, 6, 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{12}{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{126 {(\frac{12}{7})}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{7}$ .

$\frac{126 \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.2

Associez $126$ et $\frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.4

Associez.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}} \cdot 1}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.5

Multipliez $126$ par $1$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.6

Déplacez $25$ à gauche de $7^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{7}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{25 \frac{12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.8

Associez $25$ et $\frac{12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{\frac{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - (144 \frac{7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}) - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.10

Associez $144$ et $\frac{7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{7}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \frac{12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}}$

Étape 10.1.12

Associez $25$ et $\frac{12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{\frac{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}}$

Étape 10.1.13

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - (432 \frac{7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}})$

Étape 10.1.14

Associez $432$ et $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.2

Pour écrire $- \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$

Étape 10.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}$

Étape 10.3.2

Multipliez $12^{\frac{1}{5}}$ par $12^{\frac{5}{5}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Déplacez $12^{\frac{5}{5}}$ .

Étape 10.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 10.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 10.3.2.4

Additionnez $5$ et $1$ .

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Étape 10.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Étape 10.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{1}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.2.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Étape 10.5.2.2

Multipliez $12$ par $- 432$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 5184 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Étape 11

$x = \frac{12}{7}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{12}{7}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{12}{7}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{12}{7}$ dans l’expression.

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{\frac{4}{5}} {((\frac{12}{7}) - 6)}^{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {((\frac{12}{7}) - 6)}^{2}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12}{7} - 6 \cdot \frac{7}{7})}^{2}$

Étape 12.2.3

Associez $- 6$ et $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12}{7} + \frac{- 6 \cdot 7}{7})}^{2}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12 - 6 \cdot 7}{7})}^{2}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 6$ par $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12 - 42}{7})}^{2}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $42$ de $12$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{- 30}{7})}^{2}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(- \frac{30}{7})}^{2}$

Étape 12.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{30}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{30}{7})}^{2})$

Étape 12.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{30}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{30^{2}}{7^{2}}))$

Étape 12.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.8.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot (1 (\frac{30^{2}}{7^{2}}))$

Étape 12.2.8.2

Multipliez $\frac{30^{2}}{7^{2}}$ par $1$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{30^{2}}{7^{2}}$

Étape 12.2.9

Associez.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 7^{2}}$

Étape 12.2.10

Multipliez $7^{\frac{4}{5}}$ par $7^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.10.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2}}$

Étape 12.2.10.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Étape 12.2.10.3

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Étape 12.2.10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Étape 12.2.10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.10.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4 + 10}{5}}}$

Étape 12.2.10.5.2

Additionnez $4$ et $10$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 12.2.11

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 900}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 12.2.12

Déplacez $900$ à gauche de $12^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 12.2.13

La réponse finale est $\frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$ .

$y = \frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{126 {(6)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(6)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(6)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.2

Pour écrire $- \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Étape 14.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{5}{5}}}$

Étape 14.3.2

Multipliez $6^{\frac{1}{5}}$ par $6^{\frac{5}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.2.1

Déplacez $6^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (6^{\frac{5}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}})}$

Étape 14.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Étape 14.3.2.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.1

Divisez $5$ par $5$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6^{1}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.5.2

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.5.3

Multipliez $- 432$ par $6$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 2592}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.5.4

Soustrayez $2592$ de $- 144$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 2736}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{2736}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Étape 15

$x = 6$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = {(6)}^{\frac{4}{5}} {((6) - 6)}^{2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f (6) = 6^{\frac{4}{5}} \cdot 0^{2}$

Étape 16.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (6) = 6^{\frac{4}{5}} \cdot 0$

Étape 16.2.3

Multipliez $6^{\frac{4}{5}}$ par $0$ .

$f (6) = 0$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.2

Multipliez $25$ par $0$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 19

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 19.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 19.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 19.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 19.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.2.2.2

La réponse finale est $\frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{12}{7})$ dans la dérivée première $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 19.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 19.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{14 \cdot 1 - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.2.2

Multipliez $14$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{14 - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{14 - 108 \cdot 1}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.2.4

Multipliez $- 108$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{14 - 108}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.3

Soustrayez $108$ de $14$ .

$f' (1) = \frac{- 94}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.3.2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5 \cdot 1}$

Étape 19.3.2.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5}$

Étape 19.3.2.5

Associez les fractions.

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Étape 19.3.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{- 94 + 144}{5}$

Étape 19.3.2.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.3.2.5.2.1

Additionnez $- 94$ et $144$ .

$f' (1) = \frac{50}{5}$

Étape 19.3.2.5.2.2

Divisez $50$ par $5$ .

$f' (1) = 10$

Étape 19.3.2.6

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 19.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(\frac{12}{7}, 6)$ dans la dérivée première $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 19.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{14 {(4)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(4)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(4)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 19.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (4) = \frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 19.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.4.2.3

La réponse finale est $\frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.5

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 19.5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = \frac{14 {(8)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(8)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(8)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 19.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (8) = \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5}$

Étape 19.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (8) = \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.5.2.3

La réponse finale est $\frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 19.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 19.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{12}{7}$ , $x = \frac{12}{7}$ est un maximum local.

$x = \frac{12}{7}$ est un maximum local

Étape 19.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 6$ , $x = 6$ est un minimum local.

$x = 6$ est un minimum local

Étape 19.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$ .

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{12}{7}$ est un maximum local

$x = 6$ est un minimum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{12}{7}$ est un maximum local

$x = 6$ est un minimum local

Étape 20