Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.3.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 2.3.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.3.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sin (2 x) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 9.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10

La solution de l’équation est $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (0))$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cos (0)$

Étape 12.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sin^{2} (0)$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

Étape 14.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 14.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 16.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (π)$

Étape 16.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 (- \cos (0))$

Étape 16.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.4

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 16.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$

Étape 17

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

Étape 18.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 18.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(\frac{π}{2}, 1)$ est un maximum local

Étape 20