Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ comme ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.7.3

Placez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.13

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

Étape 2.14

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ .

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.2

Multipliez $2 x + 4$ par $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.4

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.15.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.15.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + 4 x + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + 4 x + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.10.3

Placez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.13

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.15

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.16

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + 0))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.17

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.18.2.1

Laissez $u_{2} = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 3.18.2.1.1

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.1.2

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u_{2}$ et $b = x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - (x + 2))}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.1.6

Simplifiez

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Étape 3.18.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 1 \cdot 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3

Simplifiez

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Étape 3.18.2.3.1

Développez $({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.2

Associez les termes opposés dans ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 3.18.2.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ et $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.2.2

Additionnez $- x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ et $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + 0 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.2.3

Additionnez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.2.4

Réorganisez les facteurs dans les termes ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ et $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.2.5

Additionnez $- 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ et $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 0 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.2.6

Additionnez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.18.2.3.3.1

Multipliez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 4 x + 8) + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.2

Simplifiez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.3.3.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 \cdot x + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4$ .

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Étape 3.18.2.3.4.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 + 0 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.4.2

Additionnez $4 x + 8$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.5

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x + 8 - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.6

Associez les termes opposés dans $2 x + 8 - 2 x - 4$ .

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Étape 3.18.2.3.6.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.6.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.2.3.7

Soustrayez $4$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.3

Associez des termes.

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Étape 3.18.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$

Étape 3.18.3.2

Multipliez $\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

Étape 3.18.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 4 x + 8$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.3.3.1

Multipliez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 4 x + 8$ .

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Étape 3.18.3.3.1.1

Élevez $x^{2} + 4 x + 8$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

Étape 3.18.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 3.18.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 3.18.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 3.18.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ comme ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.7

Associez les fractions.

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Étape 5.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.7.3

Placez ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Étape 5.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 5.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 5.1.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 5.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 5.1.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 5.1.13

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

Étape 5.1.14

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

Étape 5.1.15

Simplifiez

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Étape 5.1.15.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ .

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.15.2

Multipliez $2 x + 4$ par $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.15.4

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.15.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.15.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.15.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.1.15.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.15.6.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 2 = 0$

Étape 6.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{{({(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{{(4 + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4}{{(4 - 8 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{4}{{(- 4 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$\frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{2^{3}}$

Étape 10.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{8}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 11

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 + 4 (- 2) + 8}$

Étape 12.2.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 - 8 + 8}$

Étape 12.2.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 8}$

Étape 12.2.4

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Étape 12.2.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Étape 12.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2) = 2$

Étape 12.2.7

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ .

$(- 2, 2)$ est un minimum local

Étape 14