Calcul infinitésimal Exemples

$V (t) = 45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$ .

$\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})]$ .

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Étape 2.1

Comme $45$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $45 (1 - e^{- 1.6 t})$ par rapport à $t$ est $45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}]$ .

$45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}] + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{- 1.6 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]$ .

$45 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$45 (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- 1.6 t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]$ .

$45 (0 - \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 1.6 t$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1.6 t$ .

$45 (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$45 (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1.6 t$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.6

Comme $- 1.6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1.6 t$ par rapport à $t$ est $- 1.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1.6$ par $1$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \cdot - 1.6)) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.9

Déplacez $- 1.6$ à gauche de $e^{- 1.6 t}$ .

$45 (0 - (- 1.6 \cdot e^{- 1.6 t})) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.10

Multipliez $- 1.6$ par $- 1$ .

$45 (0 + 1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.11

Additionnez $0$ et $1.6 e^{- 1.6 t}$ .

$45 (1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 2.12

Multipliez $1.6$ par $45$ .

$72 e^{- 1.6 t} + \frac{d}{d t} [31]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1

Comme $31$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $31$ par rapport à $t$ est $0$ .

$72 e^{- 1.6 t} + 0$

Étape 3.2

Additionnez $72 e^{- 1.6 t}$ et $0$ .

$72 e^{- 1.6 t}$