Calcul infinitésimal Exemples

$2 y^{3} + y^{2} - y^{5} = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Étape 1

Set each solution of $2 y^{3} + y^{2} - y^{5}$ as a function of $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} \to f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $2 y^{3} + y^{2} - y^{5} = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} + y^{2} - y^{5}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2})$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{3} + y^{2} - y^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$6 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{5}]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $y$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (5 {u_{3}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $y$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (5 y^{4} y')$

Étape 2.2.4.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y^{4} y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y^{4} y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $y y'$ à partir de $6 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y^{4} y'$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $y y'$ à partir de $6 y^{2} y'$ .

$y y' (6 y) + 2 y y' - 5 y^{4} y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $y y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y y' (6 y) + y y' \cdot 2 - 5 y^{4} y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $y y'$ à partir de $- 5 y^{4} y'$ .

$y y' (6 y) + y y' \cdot 2 + y y' (- 5 y^{3}) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5.1.4

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (6 y) + y y' \cdot 2$ .

$y y' (6 y + 2) + y y' (- 5 y^{3}) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5.1.5

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (6 y + 2) + y y' (- 5 y^{3})$ .

$y y' (6 y + 2 - 5 y^{3}) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Étape 2.5.3

Divisez chaque terme dans $y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ par $y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ par $y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ .

$\frac{y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 2.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Étape 2.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 2.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 2.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = 0$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y (- 5 y^{3} + 6 y + 2), y (- 5 y^{3} + 6 y + 2), y (- 5 y^{3} + 6 y + 2), 1$

Étape 3.1.2

Factorisez $y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez.

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Étape 3.1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Étape 3.1.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 y^{3}$ .

$y (- (5 y^{3}) + 6 y + 2)$

Étape 3.1.2.1.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $6 y$ .

$y (- (5 y^{3}) - (- 6 y) + 2)$

Étape 3.1.2.1.1.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$y (- (5 y^{3}) - (- 6 y) - 1 (- 2))$

Étape 3.1.2.1.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 y^{3}) - (- 6 y)$ .

$y (- (5 y^{3} - 6 y) - 1 (- 2))$

Étape 3.1.2.1.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 y^{3} - 6 y) - 1 (- 2)$ .

$y (- (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.1.2.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y \cdot - 1 (5 y^{3} - 6 y - 2)$

Étape 3.1.2.2

Factorisez le signe négatif.

$- (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.1.2.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- y (5 y^{3} - 6 y - 2)$

Étape 3.1.3

Since $- y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $- y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), 1$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $- 1, - 1, - 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{1}, y^{1}, y^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 3.1.4

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.1.5

Comme le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif, $Plus petit multiple commun (- 1, - 1, - 1, 1) = Plus petit multiple commun (1, 1, 1, 1)$

Étape 3.1.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.1.7

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 3.1.8

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 3.1.9

Le plus petit multiple commun de $y^{1}, y^{1}, y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y$

Étape 3.1.10

Le facteur pour $5 y^{3} - 6 y - 2$ est $5 y^{3} - 6 y - 2$ lui-même.

$(5 y^{3} - 6 y - 2) = 5 y^{3} - 6 y - 2$

$(5 y^{3} - 6 y - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 3.1.11

Le plus petit multiple commun de $5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$5 y^{3} - 6 y - 2$

Étape 3.1.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$y (5 y^{3} - 6 y - 2)$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = 0$ par $y (5 y^{3} - 6 y - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = 0$ par $y (5 y^{3} - 6 y - 2)$ .

$\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $\frac{4 x^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ par $5 y^{3} - 6 y - 2$ .

$\frac{4 x^{3} (5 y^{3} - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $5 y^{3} - 6 y - 2$ et $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $5 y^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3}) - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 y$ .

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3}) - (6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 5 y^{3}) - (6 y)$ .

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2)$ .

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3.6

Réécrivez $- (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ comme $- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ .

$\frac{4 x^{3} (- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.3.7

Annulez le facteur commun.

Étape 3.2.2.1.3.8

Divisez $4 x^{3} \cdot (- 1)$ par $1$ .

$4 x^{3} \cdot (- 1) - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{3} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$ dans le numérateur.

$- 4 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{3} - \frac{(6) x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3}) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.8.1

Multipliez $- \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3})$ .

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Étape 3.2.2.1.8.1.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} - 5 \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.1.2

Associez $- 5$ et $\frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 5 (6 x^{2})}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.1.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.1.4

Associez $\frac{- 30 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ et $y^{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.2

Multipliez $- \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y)$ .

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Étape 3.2.2.1.8.2.1

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + 6 \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.2.2

Associez $6$ et $\frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{6 (6 x^{2})}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.2.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.2.4

Associez $\frac{36 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ et $y$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.3

Multipliez $- \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2$ .

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Étape 3.2.2.1.8.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + 2 \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.3.2

Associez $2$ et $\frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 (6 x^{2})}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.8.3.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{3} - \frac{30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3} + 36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3} + 36 x^{2} y + 12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.12

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $- 30 x^{2} y^{3} + 36 x^{2} y + 12 x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.12.1

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $- 30 x^{2} y^{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 36 x^{2} y + 12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.12.2

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $36 x^{2} y$ .

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 6 x^{2} (6 y) + 12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.12.3

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 6 x^{2} (6 y) + 6 x^{2} (2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.12.4

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 6 x^{2} (6 y)$ .

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y) + 6 x^{2} (2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.12.5

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y) + 6 x^{2} (2)$ .

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.13

Annulez le facteur commun de $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Étape 3.2.2.1.13.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.13.2

Divisez $6 x^{2}$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.14

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.14.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.14.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.15

Multipliez $\frac{2 x}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ par $5 y^{3} - 6 y - 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (5 y^{3} - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16

Annulez le facteur commun à $5 y^{3} - 6 y - 2$ et $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Étape 3.2.2.1.16.1

Factorisez $- 1$ à partir de $5 y^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3}) - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3}) - (6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 5 y^{3}) - (6 y)$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2)$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.6

Réécrivez $- (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ comme $- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.7

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.16.8

Divisez $2 x \cdot (- 1)$ par $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x \cdot (- 1) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.2.1.17

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (y (5 y^{3}) + y (- 6 y) + y \cdot - 2)$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y \cdot y^{3} + y (- 6 y) + y \cdot - 2)$

Étape 3.2.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y \cdot y^{3} - 6 y \cdot y + y \cdot - 2)$

Étape 3.2.3.2.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y \cdot y^{3} - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.3.1

Multipliez $y$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.3.1.1

Déplacez $y^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 (y^{3} y) - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Étape 3.2.3.3.1.2

Multipliez $y^{3}$ par $y$ .

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Étape 3.2.3.3.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 (y^{3} y^{1}) - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Étape 3.2.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{3 + 1} - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Étape 3.2.3.3.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Étape 3.2.3.3.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.3.2.1

Déplacez $y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 (y \cdot y) - 2 \cdot y)$

Étape 3.2.3.3.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 y^{2} - 2 \cdot y)$

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 y^{2} - 2 y)$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $0$ par $5 y^{4} - 6 y^{2} - 2 y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 2 x (2 x^{2}) + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 3.3.1.1.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 3 x) - 2 x = 0$

Étape 3.3.1.1.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 1 = 0$

Étape 3.3.1.1.4

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 3 x)$ .

$- 2 x (2 x^{2} - 3 x) - 2 x \cdot 1 = 0$

Étape 3.3.1.1.5

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (2 x^{2} - 3 x) - 2 x (1)$ .

$- 2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$- 2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Étape 3.3.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$- 2 x (2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1) = 0$

Étape 3.3.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1) = 0$

Étape 3.3.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1) = 0$

Étape 3.3.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 2 x (x (2 x - 1) - (2 x - 1)) = 0$

Étape 3.3.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$- 2 x ((2 x - 1) (x - 1)) = 0$

Étape 3.3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$

Étape 3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 3.3.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 3.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.3.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{2}, 1$

Étape 4

Solve the function $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ at $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + {(0)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2}$

Étape 4.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ at $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 \frac{1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 (\frac{1}{8}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 (- 1) (\frac{1}{8}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 1 (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.8

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{4})$ comme $- (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{- 1 + 1}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{0}{4}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $0$ par $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 0$

Étape 5.2.2.2.3

Additionnez $\frac{1}{16}$ et $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{16}$

Étape 6

Solve the function $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ at $x = 1$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + {(1)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (1) = 0$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = \frac{1}{16}, y = 0$

$y = 0, y = \frac{1}{16}, y = 0$

Étape 8