Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \ln (x y) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x y)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez $\frac{3}{2} \ln (\frac{x}{y})$ en déplaçant $\frac{3}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(\frac{x}{y})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{y}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.2

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}}$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{x^{\frac{1 + 3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{4}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.4

Divisez $4$ par $2$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{1}})$

Étape 7

Simplifiez

$\ln (\frac{x^{2}}{y})$