Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{9} \cdot \ln ({(x + 2)}^{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{9} \ln ({(x + 2)}^{9})$ en déplaçant $\frac{1}{9}$ dans le logarithme.

$\ln ({({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Étape 1.3

Simplifiez

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Étape 1.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}})$

Étape 1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.5.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{((x + 1) (x + 2))}^{2}})$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x + 2)$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

Étape 1.6

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (x + 2) + \ln ({(\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.7.2

Appliquez la règle de produit à ${(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.8.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.2

Simplifiez

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Étape 1.8.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Étape 1.8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{1}})$

Étape 1.8.4

Simplifiez

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 1) (x + 2)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1})$