Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x^{2}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.1.4

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 a x + b + 0$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Additionnez $2 a x + b$ et $0$ .

$2 a x + b$

Étape 1.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = b + 2 a x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $b + 2 a x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$2 a x = - b$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 a x = - b$ par $2 a$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 a x = - b$ par $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $a x^{2} + b x + c$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{b}{2 a}$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Factorisez $a$ à partir de ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.3.2

Factorisez $a$ à partir de $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.4

Associez ${(- 1)}^{2}$ et $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Étape 4.1.2.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Étape 4.1.2.1.8

Multipliez $- b \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1.2.1.8.1

Associez $\frac{b}{2 a}$ et $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Étape 4.1.2.1.8.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Étape 4.1.2.1.8.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Étape 4.1.2.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Étape 4.1.2.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{b^{2}}{2 a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4 a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{b^{2}}{2 a}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.2.5.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5.1.1.2

Factorisez $b^{2}$ à partir de $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5.1.1.3

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Étape 4.1.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Étape 5