Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.5

Multipliez.

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.5.2

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 3.3.7

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Associez des termes.

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Étape 3.5.1.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Étape 3.5.1.2

Associez $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.2.1

Associez.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

Étape 5.3.3.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

Étape 5.3.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

Étape 5.3.3.4

Appliquez la règle de produit à $(1 + x) (1 - x)$ .

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

Étape 5.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$