Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $7$ de $6$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{8}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $5$ de $8$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{8}{5}$ et $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ et $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{6}{7}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Étape 3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Associez.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.4.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.4.1.1.5

Divisez $y' y^{\frac{3}{5}}$ par $1$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ dans le numérateur.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.4.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.4.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Étape 5.4.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.2.1.3.1

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Étape 5.4.2.1.3.2

Multipliez $7$ par $4$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.4.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ par $y^{\frac{3}{5}}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ par $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Étape 5.5.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

Étape 5.5.3.2

Multipliez $\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ par $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

Étape 5.5.3.3

Déplacez $28$ à gauche de $y^{\frac{3}{5}}$ .

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$