Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{a} (\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}}$ comme ${(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 2

Développez $\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} \log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$

Étape 3

Réécrivez $\log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$ comme $\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Étape 4

Réécrivez $\log_{a} (m^{8} n^{12})$ comme $\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Étape 5

Développez $\log_{a} (m^{8})$ en déplaçant $8$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Étape 6

Développez $\log_{a} (n^{12})$ en déplaçant $12$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Étape 7

Réécrivez $\log_{a} (a^{3} b^{5})$ comme $\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})))$

Étape 8

Développez $\log_{a} (a^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + \log_{a} (b^{5})))$

Étape 9

Développez $\log_{a} (b^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + 5 \log_{a} (b)))$

Étape 10

La base logarithmique $a$ de $a$ est $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \cdot 1 + 5 \log_{a} (b)))$

Étape 11

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 + 5 \log_{a} (b)))$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 1 \cdot 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Étape 12.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - 5 \log_{a} (b))$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m)) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \log_{a} (m)$ .

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12 \log_{a} (n)$ .

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 3$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Étape 14.4

Multipliez $\frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$ .

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Étape 14.4.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5}{4} \log_{a} (b)$

Étape 14.4.2

Associez $\frac{- 5}{4}$ et $\log_{a} (b)$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} - \frac{5 \log_{a} (b)}{4}$