Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt{10 t^{25} v^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10 t^{25} v^{2}}$ comme ${(10 t^{25} v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(10 t^{25} v^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Développez $\ln ({(10 t^{25} v^{2})}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} \ln (10 t^{25} v^{2})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (10 t^{25} v^{2})$ comme $\ln (10 t^{25}) + \ln (v^{2})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (10 t^{25}) + \ln (v^{2}))$

Étape 4

Réécrivez $\ln (10 t^{25})$ comme $\ln (10) + \ln (t^{25})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (10) + \ln (t^{25}) + \ln (v^{2}))$

Étape 5

Développez $\ln (t^{25})$ en déplaçant $25$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (\ln (10) + 25 \ln (t) + \ln (v^{2}))$

Étape 6

Développez $\ln (v^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (\ln (10) + 25 \ln (t) + 2 \ln (v))$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Réécrivez $\ln (10)$ comme $\ln (2 (5))$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 (5)) + 25 \ln (t) + 2 \ln (v))$

Étape 7.2

Réécrivez $\ln (2 (5))$ comme $\ln (2) + \ln (5)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (5) + 25 \ln (t) + 2 \ln (v))$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (25 \ln (t)) + \frac{1}{2} (2 \ln (v))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (2)$ .

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (25 \ln (t)) + \frac{1}{2} (2 \ln (v))$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{\ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (25 \ln (t)) + \frac{1}{2} (2 \ln (v))$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{1}{2} (25 \ln (t))$ .

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Étape 9.3.1

Associez $25$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{\ln (5)}{2} + \frac{25}{2} \ln (t) + \frac{1}{2} (2 \ln (v))$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{25}{2}$ et $\ln (t)$ .

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{\ln (5)}{2} + \frac{25 \ln (t)}{2} + \frac{1}{2} (2 \ln (v))$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (v)$ .

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{\ln (5)}{2} + \frac{25 \ln (t)}{2} + \frac{1}{2} (2 (\ln (v)))$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{\ln (5)}{2} + \frac{25 \ln (t)}{2} + \frac{1}{2} (2 \ln (v))$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (2)}{2} + \frac{\ln (5)}{2} + \frac{25 \ln (t)}{2} + \ln (v)$