Calcul infinitésimal Exemples

$15 (\ln (x) - \ln (x + 5)) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 \ln (\frac{x}{x + 5}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Étape 1.2

Simplifiez $15 \ln (\frac{x}{x + 5})$ en déplaçant $15$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{x}{x + 5})}^{15}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{x + 5}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Étape 1.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \frac{4}{15} \cdot \ln (\frac{x}{x + 5})$

Étape 1.5

Multipliez $- \frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5})$ .

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Étape 1.5.1

Remettez dans l’ordre $\ln (\frac{x}{x + 5})$ et $\frac{4}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - (\frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5}))$

Étape 1.5.2

Simplifiez $\frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5})$ en déplaçant $\frac{4}{15}$ dans le logarithme.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \ln ({(\frac{x}{x + 5})}^{\frac{4}{15}})$

Étape 1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{x + 5}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \ln (\frac{x^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}}{\frac{x^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}})$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}{x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 4

Associez.

$\ln (\frac{x^{15} {(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 5

Placez ${(x + 5)}^{\frac{4}{15}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}} {(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}})$

Étape 6

Multipliez ${(x + 5)}^{15}$ par ${(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez ${(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15}} {(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + 15} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 6.3

Pour écrire $15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + 15 \cdot \frac{15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 6.4

Associez $15$ et $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + \frac{15 \cdot 15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{- 4 + 15 \cdot 15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez $15$ par $15$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{- 4 + 225}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 6.6.2

Additionnez $- 4$ et $225$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Étape 7

Placez $x^{\frac{4}{15}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (\frac{x^{15} x^{- \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Étape 8

Multipliez $x^{15}$ par $x^{- \frac{4}{15}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{x^{15 - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Étape 8.2

Pour écrire $15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Étape 8.3

Associez $15$ et $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{15 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{x^{\frac{15 \cdot 15 - 4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $15$ par $15$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{225 - 4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Étape 8.5.2

Soustrayez $4$ de $225$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{221}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$