Calcul infinitésimal Exemples

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Étape 1

La fonction $f (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \frac{1}{3} x$ . Alors $d u = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \frac{1}{3} x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Étape 4.3

Déplacez $3$ à gauche de $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Étape 6.3

Multipliez $\int \csc^{2} (u) d u$ par $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Étape 9

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$