Calcul infinitésimal Exemples

$f' (x) = 1 + 3 \sqrt{x}$

Étape 1

La fonction $f (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int 3 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int 3 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 3 \int \sqrt{x} d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + C + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x + C + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Simplifiez

$x + 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x + \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (x) = x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$