Calcul infinitésimal Exemples

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

Étape 1

La fonction $f' (t)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f'' (t)$ .

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 3.2

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Réécrivez $3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ .

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6

La fonction $f'$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

La fonction $f (t)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (t)$ .

$f (t) = \int f' (t) d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Étape 9

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

Étape 12.2

Simplifiez

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

Étape 13

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$