Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{400 - x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{400 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$400 - x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $400$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 400$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 400$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 400$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 400}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 400}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 400}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Divisez $- 400$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 400$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{400}$

Étape 2.4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{400}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{400}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{20^{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 20 |$

Étape 2.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $20$ est $20$ .

$| x | \leq 20$

Étape 2.5

Écrivez $| x | \leq 20$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 20$

Étape 2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 20$

Étape 2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 20 & x \geq 0 \\ - x \leq 20 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 20$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 20$

Étape 2.7

Résolvez $- x \leq 20$ quand $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 20$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 20$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{20}{- 1}$

Étape 2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{20}{- 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{20}{- 1}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.3.1

Divisez $20$ par $- 1$ .

$x \geq - 20$

Étape 2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 20$ et $x < 0$ .

$- 20 \leq x < 0$

Étape 2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 20 \leq x \leq 20$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 20, 20]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 20 \leq x \leq 20}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 200, 200]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 200 \leq y \leq 200}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 20, 20], {x | - 20 \leq x \leq 20}$

Plage : $[- 200, 200], {y | - 200 \leq y \leq 200}$

Étape 6