Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x^{3} + 2 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

Étape 6

Développez $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.5

Simplifiez

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.6

Factorisez le signe négatif.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 6.8

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Étape 10

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 13.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.3.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 13.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Étape 13.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 13.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Étape 13.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$