Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

Étape 1

Écrivez $- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ comme une fonction.

$f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 2 x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Étape 7.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Étape 8

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 \int x^{- 5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

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Étape 10.1.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Étape 10.1.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Étape 10.2

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$- \frac{- 1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 10.3

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 10.3.3

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 10.3.4

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{1}{x^{2}} - 20 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.5

Associez $- 20$ et $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 20}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.6

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $4$ .

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Étape 10.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{4})} + C$

Étape 10.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{4}} + C$

Étape 10.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$