Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Écrivez ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$