Calcul infinitésimal Exemples

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ comme $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 4.2

Développez $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Étape 4.3.1.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Étape 4.3.1.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Étape 4.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Étape 4.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{- 2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C - x^{- 1} + C$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$