Calcul infinitésimal Exemples

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 1

La fonction $R (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + 27000$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + 27000$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Étape 3.1.4

Comme $27000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $u^{- \frac{2}{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Étape 4.2

Placez $u^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 6.1.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Retirez $u^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Étape 6.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ comme $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 10

La fonction $R$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$