Calcul infinitésimal Exemples

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Étape 1

La fonction $s (t)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Étape 2

Laissez $u = t - 1$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = t - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Étape 3

Développez $(u + 1) u^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Étape 3.5

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Étape 9

La fonction $s$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$