Calcul infinitésimal Exemples

$f'' (x) = 4 x + \sin (x)$

Étape 1

La fonction $f' (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x d x + \int \sin (x) d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x d x + \int \sin (x) d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C$

Étape 6.2

Simplifiez

$2 x^{2} - \cos (x) + C$

Étape 7

La fonction $f'$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f' (x) = 2 x^{2} - \cos (x) + C$

Étape 8

La fonction $f (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \cos (x) d x + \int C d x$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + \int C d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Étape 15.2

Simplifiez

$\frac{2 x^{3}}{3} - \sin (x) + C x + C$

Étape 15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$

Étape 16

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$