Calcul infinitésimal Exemples

$x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

Étape 1

Écrivez $x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{6} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{6} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $x^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{- 6} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

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Étape 9.1.1

Associez $x^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Étape 9.1.2

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Étape 9.2

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$\frac{1}{7} x^{7} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 9.3

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{5 x^{5}}$ par $1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$